③Chen（1996）和Balduzzi（1996）分别于1996年引入第三个因子：短期利率的短期平均值。而实证性的主成分分析推出的三个风险因子恰好和短期利率、短期利率波动率及短期利率平均值三个状态变量相对应，被视为水平因子、曲度因子、坡度因子，从而证实了短期利率均值引入模型的合理性。
小结：多因子模型较之单因子模型，对期限结构动态变化描述更符合现实。同时，多因子模型对不同到期期限的债券利率变化之间的相关性刻画得更准确，其债券的理论价格对实际价格拟合得更好。其缺陷是：多因子模型太过复杂，只在很强的假设条件下才能推出零息票债券收益率的准确表达式，在更多的情况下，只能求得数值解；而且，模型的数学计算很复杂，在中国目前的利率市场化阶段尚无用武之地，就笔者所见，目前国内学者尚未见有关的应用性文献，在此从略。
4.2.2.4、利率模型的新发展
与前面的利率模型不同，市场模型采用的是市场中可直接观测得到的数据（如LIBOR，互换利率）来进行处理，其建模思路是要求由模型得到的标准金融衍生品的定价应和Black（1976）计算的理论价格一致。主要有两种：伦敦银行同业拆借利率市场模型（LIBOR Market Model，LMM）和互换市场模型（Swap Market Model，SMM）（商勇，2005）。
①LMM模型。LMM模型是由Brace，Gatarek和Musiela（1997）提出来的。他们利用零息债券的价格信息，假定远期LIBOR服从对数正态分布，得到伦敦同业拆借远期利率的变化模型（LMM模型），进一步利用伊藤引理和远期鞅测度，可以得到常见的对数正态LMM模型。利用对数正态LMM可以直接对利率上限和利率下限定价，其结果类似Black（1976），只是表达式更复杂一点。LMM对一些结构化金融产品的定价和套期保值十分有效，如障碍利率上限期权。同样，LMM模型也有单因子和多因子之分，Musiela和Rutkowski（1997）讨论了多因子模型，其结论与单因子模型类似。
②SMM模型。SMM由Jamshidian（1997）提出，以互换利率为基础，应用Black（1976）模型为互换期权定价，得到与Black（1976）的期权定价公式相似的公式。也称为互换市场模型。
两个市场模型都是以市场上可观测到的变量为基础建立模型，所以统称为市场模型。其实HJM模型也是对远期利率进行模拟，但是HJM采用的是远期连续复利，而市场模型则是利用远期单利。但是HJM所需要的远期利率并不能直接从市场中获得，而市场模型则可以直接从市场中的数据得到，相比之下要简单直接些。在利用市场模型为期权定价时，因其定价公式与Black（1976）的公式类似，校正起来方便。需要注意的是，LMM和SMM两者之间的假设具有对立性，两个模型不能同时成立，也就是说不存在一个通用的市场模型。模型的对数正态假定也可能与实际观测到的尖峰厚尾特征不一致。尽管较之传统的利率模型，市场模型更方便直接，但它的使用前提是金融市场充分发展，LIBOR和期权与互换期权等衍生品市场具有高度流动性，能有效地反映市场信息。
4.2.3、利率期限结构的实证研究文献
（1）国外的实证检验
有大量的文献对利率期限结构进行实证研究，这里主要考察两类：一是对某个特定的模型构造法进行实证研究；二是对不同的利率期限结构构造方法的比较研究。
①利用某种模型来构造利率期限结构。下面的模型针对某个特定的利率期限结构模型进行实证分析。Brown和Dybvig（1986）利用美国国库券的横截面数据对单因子CIR模型进行的实证检验表明，横截面分析可以得到同时间序列分析相似的结论。但这种方法会导致对贴现债券价格的低估以及期限溢价的高估，当然，这可能是由税收效应引起的。
Ball和Torous（1999）对欧元利率的随机波动率模型进行了实证检验并证实了利率的随机波动率的存在，他们还将利率的随机波动率模型的估计结果同股票市场的随机波动率模型结果进行了比较。比较结果表明，利率的持续性更短。因为它主要受到中央银行货币政策的影响。
而Karoui等（2000）对HJM模型中所使用的状态变量选择问题进行了分析和研究，结果表明两个变量可以解释95%以上的利率变动，但波动率则需要更多的变量才能解释。
Fernandez（2001）利用智利的数据采用非参数检验的方法对利率期限结构进行了实证分析。所估计的模型是单因子模型，漂移率和波动率都是利率水平的函数，结果表明智利的利率期限结构在样本期内具有向下的趋势。
Lin和Yeh（2001）对B-样条函数估计出来的利率进行了实证分析。结果表明两因子模型要好于单因子模型。考虑了跳跃性的两因子模型并不能显着地优于单纯的两因子模型，但是能很好地解释期限结构以及对利率衍生品定价。
Lanne等（2003）通过一个混合自回归模型对利率期限结构进行了实证检验，发现该模型可以很好地反映美国利率期限结构的波动持续性（volatility persistence）和水平持续性（level persistence）等特征。
②对期限结构曲线不同构造方法的比较。下列文献比较了各种构造利率期限结构方法的效果。Chan等（1992）利用广义矩（GMM）估计方法对不同的利率期限结构模型进行了实证比较，结果表明波动率中考虑了风险水平的模型表现最好。而一些常用模型，如Vasicek模型的表现却很差。Chan等（1992）的研究还表明，对漂移率的改进并未对模型产生太大的影响。类似地，Durham（2002）利用Durham和Gallant（2002）的计量分析方法对不同的期限结构模型进行了实证检验。检验的结果表明，引入复杂的漂移项表达式对模型表现好坏没有影响，与常数漂移率的模型相比，其拟合效果并没有显着改善，但是引入随机波动率能明显提高模型的拟合度。
Schlogl等（1997）通过横截面分析对不同利率期限结构模型进行了检验和比较后发现，在利率期限结构的分析中，均值回归方程和因子数量的选择要比对利率分布的选择更重要。
Bliss（1997）对McCulloch（1971，1975）的样条函数法、Vasicek和Fong（1982）的指数样条函数法、Nelson和Siegel（1987）的样条拟合法以及Fama-Bliss（1987）的息票剥离（bootstrapping）法进行了比较，得到的结论是Fama-Bliss（1987）的方法比其他方法要好，而McCulloch的三次样条方法次之。而Andrew Jeffrey等（2006）利用美国债券价格的月末数据（1970年1月—1998年12月），对McCulloch（1975）的三次样条函数、Fama-Bliss（1987）的息票剥离法以及Linton-Mammen-Nielsen-Tanggaard（2001）提出的非参数方法（LMNT）的拟合效果进行对比研究，发现LMNT方法要比前两者效果更好。但是，单独对国库券利率进行考察，则Fama-Bliss（1987）的息票剥离法拟合效果要好一些。作者进一步显示，通过模拟，利用LMNT的非参数方法估计的短期利率作为短期利率的代理变量，比通常所采用的一个月和三个月国库券利率具有更高的精度。Johannes（2003）对一般的利率期限结构漂移模型进行了分析，发现这些模型无法得出同历史数据相符的分布，他提出了跳跃因素，指出这些跳跃因素和中央银行的货币政策行为存在显着的相关性。跳跃行为会影响到期权的定价，但是对债券的收益率预测却不会产生影响。
（2）国内学者的实证检验
与国外大量的研究利率期限结构的文献相比，国内对利率期限结构的实证研究相对较少，而且由于货币市场欠发达，可资利用的数据也很少，制约了对利率期限结构的研究。范兴亭和方兆本（2001）利用Ho-Lee模型来模拟利率的运动，并在此基础上得到可转换债券的定价模型。陈典发（2002）对Vasicek模型中的参数和实际市场数据的一致性进行研究，并探讨了它在公司融资决策中的应用，但他没有考虑到融资期限长短所带来的流动性溢价问题。朱峰（2002）通过样条函数估计中国市场利率的期限结构，并对中国利率期限结构进行了主成分分析。实证分析结果表明，中国的利率期限结构同样可以用水平因素、斜度因素和曲度因素来解释。但是，水平因素对利率期限结构的影响没有达到西方国家的水平（超过70%），只有42.63%，水平因素和斜度因素一起也只有73%的影响度，同西方国家超过90%的影响水平存在较大差异。但是，由于他没有对样条函数的可靠性进行详细的分析比较和检验，因此，利率期限结构的估计结果可能存在误差，进而影响主成分分析结果。
由于我国的货币市场还存在市场分割的问题，还没有形成统一的市场，因此，目前有许多文献针对特定的市场分别进行研究。
①对交易所国债利率期限结构的研究。较早利用交易所国债对利率期限结构进行计量估计的是陈雯、陈浪南（2000），他们采用复利对1997年8月14日的国债进行研究。但当时的市场还很不发达，所以他们的研究面临的一个重要问题就是样本数据太少，其结论的可信度存在一定问题。吴雄伟、谢赤（2002）选用上海证券交易所的国债数据，采用极大似然法对模型进行了参数估计。郑振龙、林海（2002）采用息票剥离法和样条估计法对中国的利率期限结构进行静态估计，并比较了两种方法的拟合效果。杨春鹏和曹兴华（2002）利用2002年5月24日上海交易所的国债交易数据，应用样条函数模型构造了中国的零息票债券收益率曲线。他们的结果表明样条函数模型绘制的零息票债券收益率曲线比较平滑，相对回归分析法来说，样条函数法能更准确地拟合实际的国债收益率，而且可以预测任意剩余期限所对应的到期年收益率。朱世武、陈健恒（2003）研究了2003年3月28日上交所的15只附息国债所反映的利率期限结构，并比较了多项式样条法与Svensson模型的拟合效果。范龙振（2004）利用卡尔曼滤波法，对上交所债券从1997年1月到2002年3月的月度数据进行实证研究的结果表明，模型能较好地反映所考察期间实际的利率期限结构。杨宝臣、李彪（2004）对息票剥离法进行了扩展，采用三次样条插值法，利用上交所2002年1月21日和2002年3月21日的国债两个交易日的收盘价，估计了国债收益率曲线，并对之进行了比较分析，以考察政策的影响。傅曼丽等（2005）考察了上交所2002年3月29日至2004年7月30日期间国债的每周收盘数据，他们还考察了R091和R182两种回购债券。傅强、蒋安玲（2005）对上交所的国债采用多项式样条估计方法来估计利率期限结构。
②对银行间债券回购利率期限结构的研究。谢赤、邓艺颖（2003）应用一个泊松跳跃过程来描述银行间债券回购利率的日数据，发现其跳跃时间为5天一次，也就是每周的数据都是不连续的。马晓兰、潘冠中（2006）采用的数据是1999年1月1日至2004年4月23日的7天期银行间回购债券的周数据。他们对CIR模型以及Vasicek模型等的估计效果进行了比较，提出了一个较为一般性的模型，探讨了利率变化的非线性均值回复问题和利率波动率的利率水平效应问题。
此外，李和金等（2002）用核估计方法建立非参数利率期限结构模型，对1997年6月16日至2001年7月27日的非银行间国债回购市场的一个月期的回购利率进行实证研究，结果表明，短期利率模型的扩散部分和漂移函数部分都是非线性的。
