整体性质未必是局部性质的概括，更未必是局部性质的叠加。例如，数列的性质不仅体现在它的各项中，更体现在它的项与项的相互关系中。因此，通项公式前n项和的公式，都是数列整体性质的体现。又如，关于复数的模的研究，共轭复数的性质，以及与此有关的一系列公式，都反映了复数集的整体性质，它们不是个别复数所能具有的。又如，整数集与数轴上的整点集一一对应；有理数集与数轴的有理点集一一对应，但有理点集在数轴上的分布具有稠密性，这是整点所不具有的；同样，实数点在实数轴上的分布具有完备性，这又是有理点集所不具备的，复数集包含了实数集，但复数集具有无序性，这是复数集所特有而异于实数集的性质。
因此，在数学教学中，要帮助学生正确把握概念的整体性质。
3.在命题教学中培养整体意识
数学命题由条件、结论两部分构成，条件与结论之间以某种推理链联系着，从而构成了一个具有因果关系的整体，利用命题可以揭示有关数学对象的性质，或者数学对象之间的关系。概念与命题共同构成了推理的网络，从而体现了数学的整体性质。
(1)重视命题的整体把握
在教学中，要全面地把握命题的条件和结论，了解其因果关系和整体结构，例如，要研究命题的条件对于结论而言是否充分的，还是必要的；是否充分必要的，还是非充分非必要的。如果命题的条件对于其结论而言是充分必要的，那么，命题的条件和结论就实现等价，从而可以相互替换。
要注意研究公式成立的条件，公式的变形和转化，以及公式的某些特例，从整体上把握公式的运用。
(2)探索命题之间的关系
数学命题之间存在多种联系，如蕴涵关系，等价关系，等等。对命题间关系的探索研究，有助于揭示数学内容之间的内在联系，能体现数学的整体性和统一美。
二、在解题教学中培养整体意识
解题结构的优化，取决于对己知条件的整体、综合运用的程度，取决于对题意的整体把握程度，当然也取决于对求证(解)结论的理解和分析的程度。不少学生对题意的理解，对条件的利用往往是片面的、孤立的和局部的，从而使解题的过程冗繁多错，因此，在解题教学中，要积极培养学生的整体意识，从而探索更优美的解法，更好的解题效果。
1.重视对研究对象的整体现象
一些问题如从局部考虑或逐一考虑，则计算复杂，但如从整体把握，则能略去繁琐细节，反而容易找到解题捷径。
2.抓住求解对象与已知条件的整体关系
问题的条件与求解对象间，必然存在某种关系，把握好这种关系，容易找到解题途径。
3.把握条件的整体性质
局部与整体是一对矛盾，对已知条件的每个部分进行剖析，有时能体会已知条件的整体性质，有时又应对已知条件作整体考虑，才能优化解题程序。
（第五节 ）学生应形成正确的数学观
正确的数学观念是高层次的科学素质，在普通教育的十二年间，学生花了大量时间学习数学，应当对数学产生较为正确的认识，然而，中外调查研究结果表明，不少学生埋头于计算，对正在学习的数学存在诸多误解。这就扭曲了数学学习的本来意义。
一、各国数学课程重视正确学科观念的培养
1.数学观念的涵义
什么是正确的数学观念？人们存在不同的见解，然而，正面阐述这个问题的文献并不多见。综合国内外数学课程的有关材料，正确的数学观念应包含如下成份：对数学的初步正确的认识；对数学的感情和兴趣；解决数学问题的愿望；对数学美、数学创造的鉴赏；形成正确的空间观念；把日常生活问题数学化要求；对数学问题拥有解决的能力和信心。正确的数学观念并无统一的标准，因为它是随着学生数学水平的提高，数学经验的丰富，而逐步形成的。
2.培养数学观念列入课程标准
各国推出面向21世纪的数学课程标准，都把培养学生正确的数学观念作为数学课程目标的重要组成部分，如：
美国力求让学生懂得数学的价值，并形成对自我数学能力的信心；
英国注意引导学生欣赏数学美，形成对数学创造的鉴赏能力；
法国重视数学的文化内容，通过历史背景的介绍，让学生了解数学的继承性和统一性；
德国重视发展学生的空间观念；
前苏联注意介绍数学思想方法的形成及其斗争，以及它们在认识现实世界中的作用。
3.我国未来的数学课程标准，将把数学观念的培养放在更突出地位
1999年4月，在教育部的支持下，我国九年义务教育数学课程标准研制小组成立，该小组撰写的《关于我国数学课程标准研制的初步设想》在几个有影响的数学教育杂志发表，在全国范围内掀起有关数学课程标准的热烈讨论，根据该设想的初稿和修改稿，培养正确的数学观念，成为未来的数学课程目标的主要组成部分之一，在我国数学课程标准中，将按不同学段逐步予以阐述，体现了长期培养，逐步完善的科学要求，按照我国数学课程标准的设想，培养学生的数学观念有以下各项：数学的来源；数学的地位；数学与现实生活的联系；数学思维的特点；数学的趣味性和挑战性；数学美和数学的力量，等等。和以往的数学教学大纲相比，新数学课程标准在数学观念的培养方面，提法更全面，地位更突出。
二、中学生的数学现存在诸多片面性
当前各国中学生对数学的认识却存在诸多的片面性。根据相关调查研究，发现中学生数学观的片面性或对数学的误解表现为以下几个方面。
1.把数学等同于计算
学生(甚至部分社会人士)对数学的这一误解，可以追溯到我国数学历史根源。我国古代数学大多与计算相联系，在我国数学史上，算术和代数的成果较几何为多，即使几何的研究，也偏重于计算，演绎推理的重要性，很晚才得到强调。我国古代数学著作不少以算经相称。以往一段时期，人们把小学数学称为算术，就源于这一传统，对数学的这一误解，低年级学生较为普遍。20世纪80年代以来，我国重视几何教学，重视推理论证，学生的上述误解，已在一定程度上得到纠正。
2.把数学看成一堆概念和法则的集合
不少学生孤立地学习数学概念和法则，看不到或少看到概念和概念之间，法则和法则之间，概念和法则之间，章节之间，科目之间，存在深刻的内在联系。由于存在上述误解，就难以体会数学的威力、魅力和价值，学习上死记硬背，导致效果不佳、惧怕、焦虑和厌烦心理。1998年8月，在韩国召开的东亚国际数学教育研讨会上，美国南密苏里州立大学谭美拉教授报告了《美国4—8年级学生数学学习焦虑情绪的调查》，她指出，教师在课堂教学中强调的东西过多，教学进度快，教学铺垫过少，对数学术语的解释模糊不清，过分注重数学的特殊技巧，频繁的限时测验，都给学生造成压力，从而产生焦虑甚至厌烦情绪。同样，根据华南师范大学数学系对中学生的调查，学生中间对数学的惧怕，厌烦情绪相当普遍，这对数学观念的正确形成是十分不利的。
3.数学问题观念呆板化
相当多学生(甚至有些教师)把数学问题等同于课本的练习题、复习题、或者考试的考题。他们习惯于数学问题有确定的、甚至唯一的答案。
例如，澳大利亚教授Clarke举例说，对以下问题：写出通过点(2，1)的五条直线的方程。
许多学生的回答让命题的教师们感到惊奇，这些学生认为题目的条件不够充分，因为题目没有包含两点，或者一点一斜率，因而构造不出所需要的方程。
当前，国内外有关专家正在开展开放性数学问题研究，这对于帮助学生形成良好的数学观念有重要意义。我们期望有关成果在未来数学课程中得到体现。
4.看不到或少看到活生生的数学问题
现实生活存在丰富多彩的问题与数学相关。然而，多数学生对这些问题认识肤浅，甚至没有认识。例如，香港中文大学所作的一次调查中，有如下的问题与谈话：
问话者：如果你的哥哥利用一张表，以便记录每晚睡眠时间有多长，他是否在作数学？
学生1：是的，因为那张纸是长方形的，而且表格中包含了放在一起有许多格子，因此，记录睡眠小时数是数学。
学生2：纸，就是一张纸，而且所记录的是睡眠小时数，因此再次与数学联系在一起。
可见，受试学生把数学和数字，图形等同起来。因此，帮助学生了解、理解现实生活中的数学问题，形成解决这些问题的意识和能力，是教学课程的重要任务。
三、培养正确数学观念的策略
当前我国中学生的数学观念，有不少正确成份，也存在误解或片面性，培养学生的数学观念，要注意以下策略。
1.统筹安排，及早培养
这是长期，综合性任务，它应贯穿于数学教育的全过程，并应该：
①划分层次教学要求。即根据各年级学生的年龄特征和教学内容，确定数学观念所形成的基本要求，以对数学的认识为例，各学段应该包含如下的教学要求：
小学1—3年级初步了解数学在日常生活的许多用处，数学包含许多计算问题。
小学4—6年级认识数学来源于现实生活，它研究图形特征和数量关系。
初中认识利用数学符号能表达数量关系和规律，进行推理和运算。
高中认识利用数学能概括模式，研究关系，如研究静止状态和运动过程，局部问题和整体问题，必然规律和偶然条件，图形变化特征和数量关系。
②及早打开数学视野，拓宽数学课程内容，传播现代数学思想，不断丰富对数学的认识。例如，小学数学应该渗透用字母表示数的思想，初中数学要加强函数思想的渗透，高中数学应包含概率和微积分，用向量方法统一处理平面几何与立体几何的有关问题。
③把握观念的发展变化，每个年级，每个学段的开始，每个重要概念，重要思想方法的引入，都能使学生的数学观念产生飞跃。课程的设计要有助于学生完成这些飞跃。例如，初一的有理数概念，初二的实数概念和几何推理方法，初三的函数概念和统计方法，高一的函数思想和立体几何推理方法，高二的模式关系思想和数形结合方法，高三的极限思想和微积分等方法，等等。这些既是数学学习的难点，也能对数学观念的正确形成产生重要影响。教师应了解学生数学观念的变化，并通过多种活动，促进观念的发展。
④加强训练应用意识，让儿童从早期起，就逐步接触和处理实际问题。让他们体会到，生活当中处处有数学，处处用得着数学。应该让学生认识到，日常生活中的数学问题，没有贴上“数学”的标签，也未必有唯一答案，甚至没有答案。根据我国中学数学的实际情况，初中数学每学期设有一次探索性活动，高中数学每学期设有探究性课题，开展好这类活动，对提高学生的应用意识，将有促进作用。
2.明暗结合、逐步培养
对不同年龄、不同学段的学生，其观念的培养，应采用不同方法；观念中的不同因素，亦应以不同方法予以训练。
①数学的对象宜明讲，通过概念，定理，公式的教学，逐步地，正面地揭示数学的对象。
②数学的特点宜暗宣，通过系统的教学，使学生对数学的认识，由模糊变为明朗，有感性认识上升为理性认识。
③数学的价值宜体会。我国学生大都体会到数学在学习中的价值(他们往往把数学的价值与它在考试中的地位联系在一起)。今后，要创造更多机会，让学生体会到数学在日常生活中、在社会主义建设中的价值。
④数学的应用宜实践，课程要为各年级的有关章节，安排适当的实践作业，在实践中，全面发展学生的应用意识和能力。
3.内外联系，交错培养
理论联系实际的能力，不能局限于课堂内，也不能局限于数学课程之内，这是中小学阶段各课程共同的、整体性的任务。
①揭示数学的内在联系，课程要打破条块分割，重视数形结合，不断揭示数学的多样性和统一性，低年级要注意新观点的逐步渗透，高年级要适当运用新观点回顾复习旧知识。
②重视课程的交叉配合，数学课程要加强和其他学科的联系，其他课程要注意数学思想方法的运用。因此，教师应具备较宽阔的知识面，而且各科教师间的交流和合作是十分重要的。
4.面向全体，个别培养
观念的形成过程，存在个体和群体的差异，我们既要力争全体学生数学观念的健康成长，又要帮助每个学生数学观念的正确形成。
①允许学生以不同速度，在不同层次上，发展其数学观念。
②提供机会，让学生相互交流，相互影响，从而促进观念的健康发展。
③加强个别辅导，帮助学生及时排除学习障碍，恢复对数学学习的兴趣，以便树立学好数学，用好数学的信心。
