在数学中，类比推理同样是发现概念、公式、定理和方法的重要手段。例如，把分式运算与分数运算类比，把平面与直线类比，把四面体与三角形类比等等，都可以发现许多新知识。此外，类比推理还广泛用于解题研究中，它具有启迪思路、触类旁通的作用。
六、科学证明
1．证明的意义及结构
思维的基本任务就是提出新命题和确定命题的真假。证明就是根据一些已经确定真实性的命题来断定某一命题真实性的一系列思维过程。
从逻辑结构方面分析，任何证明都由论题、论据、论证三部分组成。论题是指需要确定其真实性的命题；论据是指用来证明论题真实性所引用的那些已知真实的命题，论据回答“用什么论证”的问题；论证是指根据论据进行一系列推理来确定论题真实性的过程。
从证明与推理的关系来看，证明必须以推理为基础，推理又总是为证明服务的。二者在结构上也是一种对应关系，证明论题相当于推理的结论，证明的论据相当于推理的前提，证明的论证方式相当于推理形式。
2．论证规则
论证规则包括论题、论据与论证的方式要求三个方面。规范而正确的论证，必须遵守以下规则：
(1)论题要明确。论题是论证的主旨，它要求：一是思维内容要有严格规定，关键性概念无歧义；二是表达思维内容的语句要准确恰当。主旨不明确，论证就是盲目的，容易犯论题不清的逻辑错误。
(2)论题必须保持论证过程的同一性。这是同一律的要求。否则就会犯偷换论题或混淆论题的逻辑错误。
(3)论据要真实，且不得以其真实性尚未曾证实的命题作为论据。论据是确定论题真实性的根据、理由，如果违反这一规则就会导致“虚假论据”，这是论证中的“基本错误”。
(4)论据要充分，即论题与论据之间应有必然联系。如果二者毫不相干，或者虽然相关但理由不充分，便会犯“推不出”的逻辑错误，也不能保证论题的真实性。
(5)论据的真实性不能是依赖于论题的真实性来证明的。否则要犯“循环论证”的错误。
3．数学论证的基本方法
论证主要是依靠推理的思维工具来实现的，按照它所使用的主要推理方法来划分，结合数学及其教育的实际情况，数学论证所常用的方法主要有：演绎论证与归纳论证、类比论证；分析论证与综合论证、直接论证与间接论证等。数学论证常用的间接证法主要有反证法和同一法。
反证法的思维过程是：第一步，以原命题的矛盾命题(称为反论题)作为前件，推导出必然的后件，再根据真命题确定后件的虚假，从而进一步依据充分假言推理之否定后件式、确定反论题的虚假。第二步，根据排中律进行直接推理，最后得出原论题为真的结论。
同一法的逻辑根据是同一原理：互逆的两个命题未必等价，但是，当一个命题的条件和结论都唯一存在，它们所指的概念的外延完全相同，是同一概念时，这个命题和它的逆命题等价。这一性质通常称为同一原理或同一法则。例如“等腰三角形底边上的中线是其底边上的高线”是个真命题，命题的条件和结论都唯一存在，条件和结论所指的概念的外延完全相同(即为同一条线段)，其命题“等腰三角形底边上的高线是其底边上的中线”也必为真。对于符合同一原理的两个互逆命题，在判定其真假时，只要判定其中的一个即可。
七、科学推理及证明的逻辑规律
人类是用概念、判断、推理等思维形式来进行思维活动及论证思想的。在人类进行正确的思维和推理的过程中，都要正确地运用逻辑形式，而思维的逻辑形式是受逻辑规律制约的。普通逻辑所研究的基本规律有四个：同一律、矛盾律、排中律和充足理由律。
1．同一律
同一律的基本内容是：在同一思维(论证)过程中，每一思想的自身具有同一性。
同一律的公式是：A是A(A表示概念或判断)。
同一律在思维中的作用就在于保证思维的确定性。同一律有三点具体的要求：一是思维对象要保持同一；二是表示同一对象的概念要保持同一；三是推理前后或论证过程中人们所使用的判断必须保持其自身的同一。
同一律作为一种科学规律，具有必然性和客观性。如果违背了同一规律的要求，那就会破坏思维的一贯性，造成思维混乱，在同一推理、证明的过程中，就会犯“偷换概念”“偷换论题”等逻辑错误。
需要指出的是，同一律所要求的“同一”是相对的、有条件的。它是在同一个思维过程，即同一时间、同一关系下对于同一对象而言的。若在一定条件下的“同一”条件变了，认识也相应的有所发展。
2．矛盾律
矛盾律的基本内容是：在同一思维(论证)过程中，对同一对象所表达的两个互相矛盾或对立的思想不能同真，至少必有一假；也就是说对于同一个思维对象不能既肯定它是A，又否定它是A。
矛盾律的公式是：A不是非A。
与同一律一样，矛盾律作为一种科学规律，也具有必然性和客观性。如果违背了矛盾规律的要求，那就会犯“自相矛盾”的逻辑错误或者说有了逻辑矛盾。数学中的悖论就是一种特殊的逻辑矛盾。
矛盾律的作用是保持思维的首尾一贯，避免自相矛盾。任何一个科学理论都应该具有不矛盾性。矛盾律是用否定的形式表达同一律的思想内容，它是同一律的引申，同一律说A是A，矛盾律实际上也是思维确定性的一种表现，因此矛盾律是从否定方面肯定同一律的。
还需要指出的是，矛盾律中所谓的矛盾，是指思维过程中的思维混乱，即同时确定A与非A都真。它是在同一个思维过程，即同一时间、同一关系下对于同一对象而言的。对这种逻辑矛盾，矛盾律要加以排除的。但有时在同一时间，对于同一对象本身具有矛盾着的两方面的性质，人的思维要用一个判断同时提示这一对象的矛盾两重性，这就不违反矛盾律的要求。矛盾律并不把辩证法所讲的矛盾排除在一切思维之外，更不否认世界固有的矛盾。绝不能把矛盾律与辩证法所讲的矛盾混为一谈。
3．排中律
排中律的基本内容是：在同一思维(论证)过程中，对同一对象所表达的两个互相矛盾的思想，不能同假，必有一真。也就是说对于同一思维对象，必须做出明确的肯定或否定，不能既不是A，又不是非A，A和非A两者必居其一，且仅居其一。
排中律公式表示是：A或者非A。
排中律是反证法的逻辑基础，在直接证明某一判断的正确性时有困难，根据排中律，只要证明这一判断的矛盾判断是假就可以了。
与同一律、矛盾律一样，排中律作为一种科学规律，也是在一定条件下起作用的。如果客观事物确实存在着第三种可能性，如果不是两个相互否定的思想，就不能要求在两者之中承认一个为真，否则就会造成思想上的片面性。还必须指出，排中律并不是否认事物经过中间环节相互过渡，相互转化，排中律既不涉及事物在一定条件下互为中介和相互转化的问题，也不涉及两类事物间的中间情形的问题。
逻辑思维规律是人们在长期反复实践中总结提炼出来的。同一律、矛盾律、排中律是在公元前4世纪，由古希腊的大哲学家亚里士多德所发现，三者之间的联系是从不同角度去陈述思维的确定性的，排中律是同一律和矛盾律的补充和深入，排中律和矛盾律都不允许有逻辑矛盾，违背了排中律就必然违背矛盾律。
4．充足理由律
充足理由律是在17世纪末由德国的哲学家和数学家莱布尼兹补充的。其基本内容是：在思维(论证)过程中，对任一真实的判断，都必须有充足的根据，也就是说正确的判断必须有充足的理由。
充足理由律的公式是：“A真，因为B真，而且B能推出A”。其中A和B都表示一个或几个真判断，B称为A的理由，A称为B的结论。
充足理由律是有关论证的逻辑规律，是推理、论证与反驳的逻辑基础。充足理由律的主要作用在于保证思维的论证性。但在一个推理、论证过程中，理由究竟是真是假，仅仅依靠充足理由律是无法断定的。例如，要确定一个数学命题为真，究竟要从哪些方面提出理由，选择哪些事实，引用什么数学定理、公式等等，这都与数学知识有关，充足理由律也是不能解决的。
这四个规律概括地表现了逻辑思维的基本特征，它是保证人们正确认识客观世界和正确表达思维的基本前提。正确的思维应该是确定的、无矛盾的、前后一贯的、论据充足的。不然的话，思维就将陷入混乱，表达思维的语言也就会语无伦次，在数学的推理和证明中，如果违背了逻辑思维的规律，就会产生逻辑错误，论证就得不出确实可靠的结论，因此数学中的推理论证必须遵守逻辑思维的基本规律。
（第二节 ）逻辑思维的基本形式
概念、判断和推理是逻辑思维的基本形式。
一、数学概念
概念是反映研究对象的本质属性的一种思维形式，是人们主观意识对客观事物本质属性的能动反映，是一种科学认识方法。在逻辑学中，概念是思维形式的最基本组成单位，是构成判断和推理的要素。
数学概念是反映客观事物关于空间形式和数量关系方面的本质属性的思维形式。
1.数学概念的形成和特性
概念的形成是以实践为基础的。人们为了认识事物，掌握事物的规律，把握事物的本质，首先把某一类事物的本质属性及其非本质属性区别开来，然后把非本质属性撇开，将本质属性抽象出来，再运用适当的词语给予表达，从而形成概念。因此，概念的形成一般经过从客观事物到主观意识的认识过程，这个过程按照认识发展顺序就是感觉——知觉——表象——概念，其中感觉、知觉、表象(观念)属于感性认识，由表象到概念属于理性认识。概念的实质是一种思维形式，而思维则是人为的一种特殊的心理现象，是人脑对客观事物的能动的反映，是主观对客观事物的本质属性内在联系的一种概括、间接反映过程。
数学概念的形成一般都遵循由客观到主观的认识过程，初等数学中许多概念都是这样形成的。例如，人类先从感觉太阳和月亮满月时的外形开始，经过长期观察，慢慢地形成圆的观念，为了制造类似于圆的工具和器皿，促使对圆的本质属性的进一步理解，最后经过抽象概括，懂得了圆周上的点与圆心的距离保持不变的关系，从而得出了平面几何中圆的定义。
随着数学抽象程度的提高，数学概念的形成主要在于数学自身内部的矛盾运动。表现为纯逻辑的导出和内部的多级抽象，如虚数的产生来源于一元三次方程的求解；“群”概念的产生来源于高次方程根的表达形式问题的研究，等等，这些概念如“四元数”“群”“模”“范畴”“纤维丛”等，都超出我们现实生活所给予的表象，其抽象程度为一般人所难以理解和接受，然而由它们建立起来的理论在实践中有着广泛的应用。真正的数学概念的形成和确立，必须受客观的检验，不是人们主观任意臆造的“思想产物”，而是有其客观背景的。这如同微积分的概念，萌芽于古希腊时期，只是到了16世纪之后，技术的发展、微积分理论有了实际应用，这个概念才完全确立。
由于概念的产生是以感性认识为基础的，所以概念具有直观性。另外概念是借助于分析、综合、抽象、概括等方法，能动地反映各类事物对象所固有的一般的本质属性。因此，概念具有普遍性和抽象性。
概念的形成需要一个历史过程，随着事物的变化，概念自身也是发展变化的。
一些概念在事物的变化和发展过程中，反映对象的本质属性并没有发生根本变化，但是随着人类认识的发展，对概念的认识变得丰富、深刻。人类建立起来的理论不断完善、科学技术不断进步，事物的本质被揭示的可能性越大。这样，反映事物本质属性的概念随之而发展，因此，概念具有发展性。
上述特性在数学概念中有着充分体现。如平面几何和立体几何中的图形就有明显的直观性。但由于数学具有高度抽象性，所以数学概念的普遍性和抽象性较强，而直观性较弱，例如函数中最熟悉的二次函数y=12ax2，它是自由落体运动(高度与时间)、匀加速运动(距离与时间)、机械能(动能与速度)和热电学(热量与电流强度)等多种现象中变量之间关系的抽象概括。这就充分体现数学概念的普遍性和抽象性。
数学概念更突出地表现为它的发展性。数学中有不少概念，特别是较原始的概念，在揭示它的本质过程中，经历漫长的历史过程。有些概念经过几百年，甚至上千年，才能正确揭示其本质，如自然数概念，从人类认识数开始，直至集合论的建立之后，才由意大利数学家皮亚诺于1889年用公理化形式给出了它的精确定义。又如函数概念的发展，经过几次扩充、深化，才到达今天现代数学中深刻揭示其本质的关系定义。其发展过程大致经历如下几个阶段：开始，函数是幂x，x2，x3…的同义词，由17世纪莱伯尼兹首先给出，到18世纪，函数被理解为变量x与常量构成的任一表达式，并由欧拉给出函数f(x)的记号，后来随着运算的多样化，新的函数表达式的出现，特别是傅里叶证明了“由不连续的线段给出的函数能用一个三角函数式来表示”，打破了对函数概念的认识的传统观念，这个时期由柯西给出函数的定义为“若对于x的每一个值，都有确定的y值与之对应，则称y为x的函数”。这个定义较深刻地反映函数概念的本质，但当时对于“对应”的理解还不够深刻，直至一些更抽象的函数的出现，如狄里赫利构造的狄里赫利函数D(x)=1x为有理数0x为无理数，使人们认识到函数的本质在于对应法则的存在，而不管其对应方式如何，或是否用解析式表示，这样，人们对函数概念的认识有了质的飞跃。至今现代数学，函数概念发展到由揭示对应关系更本质的映射来定义。并在现今的教科书得到反映。函数概念的本质逐步为中学生所认识。
2.数学概念的作用
科学概念的作用在于它的基础性和开拓性。一门科学的理论体系总是通过一系列概念的制定来总结和概括该门科学认识的成果的。因而科学理论体系即是科学概念体系。
一些科学的基本概念的形成，标志着相应的学科或理论体系的诞生。如“点”“线”“面”等，这些形的概念的提出，为欧几里得几何学创立奠定了基础。在科学的发展过程中，一个新概念的引入，往往标志着科学史上新成就的产生，而重要科学概念的形成，甚至具有划时代的意义。如“群”概念的诞生，具有划时代意义，它标志着代数学由传统代数迈向近世代数。“集合”概念的建立，使它成为整个数学的基础。因此，人们称“集合”和“群”的概念“是构成数学基础的主要思想”，“它们使纯数学和应用数学成为像今天这样发达和严密的最大源泉”。
