特称判断的特例就是对单个对象作出判断，称为单称判断。逻辑形式是这个S是P，或这个S不是P。例如x=2是方程x2-2x=0的解，x=3不是方程x2-2x=0的解。
按关系分类，判断有三类：
直言判断：不加条件地直接断定思维对象具有或不具有某种属性的判断。
例如：
(1)正多面体只有5种。
(2)两点间的距离线段最短。
这两个判断是直言判断。
假言判断：有条件地断定某对象的某种属性或关系存在情况的判断。
逻辑形式：
①若p则q(或如果p，那么q)；
②当且仅当p则q。
例如：
(1)如果a+b=1，那么a，b中至少有一个不少于12。
(2)若△ABC中，∠C=90°，则AB2=AC2+BC2。
(3)一元二次方程ax2+bx+c=0，有实数根，当且仅当判别式△≥O。
这3个判断是假言判断。
选言判断：断定某对象的若干个属性或关系中至少有一存在的情况的判断。
逻辑形式：
S或是P1，或是P2或是P3；或S1或S2或S3是P。
例如：
(I)空间中三个平面两两相交，有三条交线，它们的交线平行或相交于一点。
(2)如x<2或x>3，都有x2-5x+6=0。
这两判断是选言判断。
3.数学命题的真假性和作用
(1)数学命题的真假性
数学命题也是逻辑学中的命题，在逻辑学中，命题的真假性只取决于逻辑关系的真假性，而不考虑其客观实际的真假性。命题的具体内容是否符合思维对象的客观实际情况，是由思维对象的有关学科来断定的。数学命题的真实性，不但取决于逻辑形式的真实性，而且还取决于内容的真实性，只有这两方面都真实才为正确的数学判断即为数学真命题。
教学内备的真实性明显地依赖于该命题所处的数学体系例如：两个三角形三个角对应相等，则这两个三角形全等。这个命题在欧氏几何学中是假命题，但在罗氏几何学中是真命题。
数学命题的真实性更着重依赖于客观实际检验。逻辑上无矛盾是正确思维和推理的必要条件，但还不是充分条件，它依赖于推理前提的正确性。尽管“如果我们有正确的前提，并且把思维规律正确地运用于这些前提，那么结果必定与现实相符”，然而前提是否正确，数学本身是无法检验的。正如非欧几何虽然诞生了很长期间，但只有当它在相对论成功地应用，及克莱因等人在欧氏几何中构造出非欧几何的模型之后，才完全确定其理论真实性。因此数学理论是否具有客观真实性，必须由客观实践来检验。
(2)数学命题的作用
数学体系可以说是由概念、命题和推理构成。
数学命题如同数学大厦中的支架，支撑和架构着整座大厦。它连结着各个节点(数学概念)和数学基础。
数学命题揭示数学研究对象的内在联系，揭示着自然界的规律和方法。数学的研究成果和方法，主要是用数学形式给出。因此，数学命题是数学研究成果的结晶。
数学命题不但在数学自身结构和揭示外部世界的规律起着重要作用，而且对数学自身发展也起着有力的推动作用。
重要的数学命题的建立，如同重要数学概念的诞生一样具有开拓性。例如，非欧几何的诞生是建立在与欧几里得几何的第五公设相悖的公设之上罗氏几何和黎曼几何的建立标志着近代数学研究的开始，具有划时代的意义。
又如拓扑学中的四色定理，“平面地图不论多么复杂，只需用四种颜色就足以使相邻的不同区域分开”。四色问题从提出到解决经历100多年，直至1977年由美国数学家汉肯和阿佩尔借用计算机IBM360花费了1200个机器小时，检验了1482种的全部可能情况，完成了这个定理的证明。人们在寻求定理的证明过程中推动数学的发展。它的解决，正如有评论家指出，“将成为数学思想发展史上一系列新想法的起点”。
再如德国数学家希尔伯特在1900年召开的第二次国际数学代表大会提出的23个问题。这些问题揭开了20世纪数学发展的序幕，一个世纪以来，这些问题一直激励和指引着数学家们的研究。20世纪许多数学重大成就都与这些问题研究分不开，从1936年到1974年，被誉为数学界诺贝尔奖的菲尔兹国际数学奖的20名获奖者，其中至少有12人的研究工作与解决希尔伯特问题直接有关。
希尔伯特的23个问题中，“哥德巴赫猜想”与“费尔玛问题”被列为其中第8和第10个问题，这两个被誉为数学皇冠上的明珠的数论难题，吸引了不少数学家致力研究。有的数学家甚至耗费了毕生的精力，其中最突出的是德国数学家库姆尔，他几乎用了一生的时间来研究费尔玛问题。虽然他最终没有给出完满的解决，但他却提出了一整套数学理论，推动了数学的发展。法国科学院为表彰库姆尔的贡献，为他颁发了奖项。
费尔玛问题最终在20世纪末即1994年由英国维尔斯给出了严格证明，结束了历时300年之久的困扰。维尔斯的杰出成就使他荣获数学殊荣沃尔夫奖。而哥德巴赫猜想，虽然我国数学家陈景润在解决这个问题上取得最好的成就，但这个问题在18世纪提出至今仍未得到彻底解决，还正在激励着数学家为此继续攀登。
以上列举的数学命题，足以说明数学命题所起作用是巨大的，“数学问题是数学核心”，数学的发展史，也就是数学问题不断提出和解决的历史。
三、数学的推理
1.推理和推理的组成
概念与概念的联系是判断，那么概念与判断，判断与判断之间的联系是什么？那就是推理。
推理是从一个或几个已知判断推出一个新的判断的思维形式。
推理和其他思维形式一样，也要借助于语言来表达，概念借助于词语，判断借助于语句，而推理则借助于复句或句群来表达。它是由若干个命题复合而成。
任何推理都是由前提和结论两部分组成，推理的前提就是推理所依据的已知判断或概念，推理的结论就是由前提所推出的新判断。
2.推理的逻辑性和真实性
推理不是判断的无规则的罗列，“由此推出”是推理的特征。因此，推理的前提与结论之间有一定制约关系，这种关系就是逻辑关系。判断间的逻辑关系是客观规律性的反映，表现为各种逻辑基本规律和推理规则。
推理的真实性依赖于推理合乎逻辑性，合乎逻辑性包含两个方面。第一，推理内容正确反映客观事物的发展规律，即符合客观事物本身的逻辑；第二，推理过程符合思维结构的规律，即符合推理形式的发展规律。这两个方面的要求，反映了推理的内容与形式的统一性。
当前提内容真实，推理形式可靠且推理形式正确，所得的推理结论就是真实的，即为真实推理，如果缺少其中一个条件，结论就是不可靠的。
推理前提的正确性是真实推理的必要条件，只有当作为前提的判断符合客观实际，推理才有可能成为真实推理。
推理形式的可靠性同样是真实推理的必要条件，而正确运用推理形式则是获取真实推理的关键。
例如：
无理数是实数，分数不是无理数，所以，分数不是实数，这个推理的两个前提都为真，但推理形式不正确，故此，这个推理是一个不合乎逻辑的推理。上述推理的前提与结论之间没有必然的联系，违反了推理规则。
3.推理的种类
根据不同的标准，可以把推理划分为各种不同的类型，数学中常见的推理分类有如下几种。
①根据推理前提与结论间联系性质的不同，可将推理分为必然推理(必真推理)和或然推理(似真推理)。
必然推理是指在真实的前提下，由推理所得的结论完全正确的推理方法。
或然推理是指在真实的前提下，由推理所得的结论不一定正确的推理方法。
②根据推理的思维进程的不同，可将推理分为演绎推理、归纳推理和类比推理。
演绎推理是从一般到特殊的推理。
归纳推理是从特殊到一般的推理。
类比推理是从特殊到特殊的推理。
③根据推理前提数目的多少，可将推理分为直接推理和间接推理。
直接推理是指前提由一个判断构成的推理。
间接推理是指前提由两个或两个以上的判断构成的推理。
推理可以作多种分类，且每一类推理可以属于不同的类别，如演绎推理也是必然推理的一类。
（第三节 ）形式逻辑与辩证逻辑
逻辑是研究思维及其规律的科学。
一、形式逻辑与辩证逻辑的关系
逻辑学分为形式逻辑、辩证逻辑和数理逻辑。
形式逻辑是关于抽象思维形式的结构及其规律的科学。
辩证逻辑是关于辩证思维形式、规律和方法的科学。
数理逻辑主要是用数学方法来研究形式逻辑中的演绎部分及以公理方法构造出命题演算与谓词演算系统的科学。
数理逻辑也可以说是“用数学方法研究数学中演绎思维和数学基础的科学”。数理逻辑研究的对象主要是命题运算、谓词运算、递归论，证明论、集合论和模型论等。
数理逻辑运用数学符号和方法把形式逻辑学提高到一个新的高度，促进数学的发展，开辟了数学研究的新领域——非标准分析。数理逻辑关于形式语言研究为计算机语言提供了前提，促进了计算机的发展。
1.形式逻辑与辩证逻辑的研究对象
形式逻辑是以抽象思维的逻辑形式、逻辑思维规律和逻辑思维方法为其研究对象的科学。
思维形式是思维对客观特定对象及其属性的反映方式，是揭示思维内容各部分之间的联系的方式，亦是思维内容赖以依存的形式。抽象思维的逻辑形式就是通常所指的逻辑思维形式。主要有概念、判断和推理等。
形式逻辑思维规律是指人们在思维过程中运用逻辑思维形式所必须遵守的普遍思维规律，也就是在运用概念组成判断，判断组成推理所遵守的规律。形式逻辑思维的基本规律有同一律、矛盾律和排中律，以及推理过程必须遵守的理由充足律。
同一律、矛盾律(也称不矛盾律)和排中律是保证思维活动具有确定性、一贯性和明确性，而理由充足律是保证思维的论证性。
形式逻辑思维基本规律是客现存在的普遍规律，是正确思维的必要前提，它对思维有制约性和规范性。
形式逻辑除了研究思维的逻辑形式及其基本规律之外，还研究人们在认识客观事物过程中使用的一些逻辑方法，比如：定义、划分、限制与概括，探求因果联系和论证等方法。
总之，形式逻辑是研究思维的逻辑形式及其规律和一般简单的逻辑方法的科学。
辩证逻辑的研究对象是思维发展规律、思维形式的辩证性、辩证思维的方法以及人们获取真理的一般途径。
辩证逻辑的逻辑思维形式仍是概念、判断和推理，辩证逻辑着重研究概念的内部矛盾的转化、概念的发展，并从事物内部与其形式的关系研究概念间的联系。辩证逻辑研究判断的相互矛盾与统一关系，研究推理所遵循的客观事物发展规律。
辩证逻辑研究的思维规律是辩证思维过程中所必须遵守的规律，它是对立统一规律，质量互变规律和否定之否定规律。
对立统一规律是要求思维过程坚持思维的辩证性，思维必须保持对立统一性，即对事物内部矛盾运动的认识既是对立的又是相互统一的，矛盾双方处在一个共同体之中。
质量互变规律是要求思维过程坚持思维的转变性，即坚持对事物内部矛盾互相转换的特征，和对事物的发展依赖于质与量之间变化的认识，把握量的变化积累到一定程度之后，质也随之变化，而质的变化必定影响量的变化。
否定之否定规律，是要求思维过程坚持思维发展性，即坚持思维在肯定——否定——否定——肯定的过程中发展，形成思维的良性循环。
2.形式逻辑与辩证逻辑的联系和统一
人们的思维过程存在着两种逻辑——形式逻辑与辩证逻辑，它们在客观上制约着思维活动，任何正确思维不仅要遵守形式逻辑规律，而且要遵守辩证逻辑规律，思维既是形式逻辑的研究对象，也是辩证逻辑的研究对象，恩格斯说过“…研究人类思维的规律的科学，即是逻辑和辩证法，…”辩证逻辑究其实质是辩证法，它是以思维发展规律为研究对象的。
形式逻辑和辩证逻辑都是以思维形式、思维方法、思维规律为其研究对象，但它们是从不同角度、不同侧面去反映思维的规律。它们之间有着密切的联系，形式逻辑是通过抽象思维建立起来的思维形式——概念、判断、推理，揭示思维的规律，而辩证逻辑思维是借助形式逻辑的思维形式，揭示思维形式与其内容间的联系以及思维形式与思维形式之间内部矛盾和发展。抽象思维是辩证思维产生的前提和基础。只有当思维发展到一定程度才能产生辩证思维。
辩证思维与抽象思维之间的关系，如同数学中的“高等数学”与“初等数学”之间的关系，初等数学主要是研究常量的数学，而高等数学主要是研究变量的数学，高等数学在初等数学基础上发展起来，高等数学的发展又促进初等数学的研究，为初等数学中不能彻底解决的问题作出理论的解答。同样地，形式逻辑是研究相对固定的思维形式的规律，而辩证逻辑则是研究思维形式间的联系、变化和发展。因此形式逻辑和辩证逻辑之间是相辅相成，作为统一思维的两个侧面并存于人们的思维之中。
3.形式逻辑与辩证逻辑的区别
形式逻辑与辩证逻辑的主要区别，在于用不同的观点认识思维、思维形式和思维规律。
辩证逻辑是用运动、变化和发展观点来认识思维的，而形式逻辑则是用固定、静止和孤立的观点认识思维的。形式逻辑撇开事物的具体内容，以揭示正确思维形式结构为主要任务，按照这些结构形式研究其思维方法和思维规律，在研究方法上，形式逻辑把思维形式看作相对固定的，不变的。辩证逻辑是动态逻辑。辩证逻辑研究的思维形式是生动的思维内容形式。正如列宁指出“黑格尔要求这样的逻辑，其中形式是有内容的形式，是活生生的实在的内容的形式，是和内容不可分离地联系着的形式”。
概念是最基本的思维形式，形式逻辑中的概念是反映事物本质属性的思维形式，这些概念是相对固定不变的。辩证逻辑研究的概念则是运动、变化和发展着的客观事物的本质、全体和内部联系。在辩证逻辑观点下，概念具有辩证性。概念内部有着自身的矛盾，即内涵与外延的矛盾。概念自身在不断发展。如函数概念的发展经历了几个阶段，概念并不是永恒不动的，是相互转化的。如物理学上的光的概念，由牛顿的粒子性发展到惠更斯的波动性，最后光是粒象和波动性的统一体。又如数的概念由正数发展到负数，继而正、负数统一在有理数域内。
