罗巴切夫斯基认为：“任何科学赖以开始的起初概念是由感觉获得的，而由先天获得的是不应该完全相信的。”他坚信自己的思想是正确的，并不因为受到攻击和谩骂而退让，相反，为了维护真理而不屈不挠地坚持斗争，继续发展自己的思想和学说。
这时候，喀山大学的政治形势发生了变化。1825年老沙皇亚历山大一世死后，惯于献媚的马格尼斯基向王太子康斯坦丁大献殷勤，而贬低尼古拉。
但是他根本没有想到尼古拉继承了王位，于是被撤职，压制和打击罗巴切夫斯基就是他的罪行之一。
罗巴切夫斯基升任物理数学系主任，1827年又担任喀山大学校长。
罗巴切夫斯基就是在喀山大学这样特定的政治形势下，得以在该校的学术会议上宣读了非欧几何的论文，让世人知晓，而匈牙利的波耶作为一个服役军官，虽经种种努力和斗争，都无力使他的论文尽快问世。
罗巴切夫斯基是一位十分大胆的数学家、管理学家和教育家，对旧的传统势力和封建思想不卑躬屈膝，敢于抵制各种不正之风。
他在担任物理数学系主任和大学校长期间，对上级教育部门下达的指示有时不听，在他看来，教育部门的指示有时违反教育规律，不符合实际情况，不应该盲目执行。对违反客观规律和学校声誉的指示和意见，不管官职多大，一律抵制和反对，不怕丢官，不怕坐牢。
一些不明真相受欺骗的人，对他的正义行为经常进行诬蔑和诽谤，甚至嘲笑和谩骂，但他从不因为这些舆论而放弃自己的观点和理想，从不放弃对科学的真诚，对真理的追求。
罗巴切夫斯基在从事教育行政事务活动之余，继续研究他的新几何体系。1829年，他写成了《论几何学的定理》的论文，终于在1829年底至1830年初的一期《喀山大学学报》上发表了。
罗巴切夫斯基的不朽功绩，在于他向人类几千年来确信不疑的欧氏几何体系进行了挑战，推翻了欧氏几何是惟一可能的空间形式的说法。非欧几何的产生，改变了欧氏几何中的平行公理，是几何学的重要组成部分，对整个数学的发展起了很大的促进作用。
非欧几何是人类空间认识史上的一次质的飞跃，它后来在相对论中得到了论证，并在天体物理学和原子物理学中得到应用。
然而在非欧几何创立之初，它备受冷落，即使在波耶、罗巴切夫斯基和高斯的故乡匈牙利、俄国和德国，同样没有引起人们的重视。
到德国杰出数学家黎曼创立了一种更为广泛的非欧几何时，非欧几何才逐渐为人们所瞩目。
接力赛中又一棒
1826年9月17日，黎曼生于德国汉诺威的一个乡村牧师家庭，虽然家庭贫困，但小黎曼的头脑特别聪明。
6岁时，黎曼上学后即崭露出他的数学天才。几年后，他甚至超过了乡村数学教师的水平，解题方法更高明。由于贫穷的乡村教师在教学之余，还要忙一些家里的活计，便经常请黎曼代他上数学复习课，这对黎曼数学水平的提高很有好处。
1840年，黎曼进入大学预科学习，因学习的勤奋和成绩的突出而得到校长的赏识，便把自己的私人图书馆向黎曼开放。
黎曼立即钻进图书馆里，如饥似渴地阅读起来，对那些数学书籍尤感兴趣，以惊人的速度和难以令人相信的理解力，攻读数学名家的著作。
1845年，黎曼以优秀的成绩考进哥廷根大学。父亲希望他学习神学，将来成为一名出色的牧师，然而黎曼迷恋于数学。又被哥廷根大学浓郁的数学研究气氛所感染，便放弃神学而改学数学。
这时，高斯已经年迈，黎曼便成了德国另一个著名的数学家狄黎克雷的学生。狄黎克雷在数论和级数方面取得了很大成就，并熟悉德国和欧洲其他数学家的成就和思想，这对指导黎曼的数学发展起了很大作用。
黎曼在数学上很快成长起来。
1851年，黎曼完成了博士论文《复变函数论的基础》。在这篇论文里，他把单值解析函数推广到多值解析函数，并且引入“黎曼曲面”的重要概念，确立了复变函数的几何理论基础。因而他是复变函数论的创始人之一。
这是数学史上的一篇出色的论文，高斯给予了很高的评价：“作者对论文中讨论的课题进行了深入而透彻的研究，能够进行创造性的、真正数学的思维，具有极其丰富的独到见解。”
高斯最后肯定这是一篇很有价值的论文，远远超过了对博士论文的要求。
黎曼开始研究非欧几何学。波耶和罗巴切夫斯基认为第5公设不可证明，都提出了自己的新几何体系。
罗巴切夫斯基的非欧几何体系是以“过直线外一点至少可以作两条直线与已知直线不相交”为前提的。黎曼在研究这个问题中，认为在一种更为广义的曲面中，根本没有平行直线。
根据这一结论，黎曼又演绎出了一种新的几何体系，这样就出现了两种非欧几问，一种就是罗巴切大斯基的双曲几何，一种就是黎曼的椭圆几何。
黎曼在学术上有所进展，然而他的工作却无着落。在获得博士学位后，他由于出身贫寒等原因，一直没有找到正式工作。
黎曼希望能在数学研究气氛浓厚的哥廷根大学工作，第一步便是申请编外讲师。
按照德国大学的惯例，申请人首先要进行论文演讲，由申请人自己呈报3个演讲题目，然后学校学术委员会根据其水平最后定夺。
一般来说，申请人要呈报3个题目，学术委员会让申请人演讲第一个题目，第二个题目和第三个题目只是做做样子而已。因此，第一个题目都是申请人花费时间最多的，经过精心准备和深思熟虑的。
黎曼向学术委员会呈报了3个演讲题目，认真地准备着，希望能像博士论文那样获得评委们的高度评价，从而登上这所著名大学的数学讲坛。
欧洲最大的数学权威高斯，也是学术委员会的评委之一。当他看到黎曼的演讲题目时，不禁被吸引住了；“关于几何基础”不就是自己从18世纪未就开始思考的问题吗？由于害怕世人的围攻而没有发表，后来匈牙利的波耶和俄国的罗巴切夫斯基终于大胆地把它发表出来，并创立了非欧几何，了却了自己的一桩心事。
现在黎曼又提出这个问题，难道又有什么新见解吗？高斯很想知道。
但是，从题目的排列顺序来看，“关于几何基础”排在第三位，高斯不禁眉头一皱，难道这个题目仅仅是做做样子吗？
对于黎曼，高斯是了解的。这个青年数学家根底深厚，思想活跃，对很多数学问题都有独到的见解，对这个题目肯定有所研究，于是决定打破常规，让申请人演讲第三个题目，一方面看看“具有独创精神”的黎曼如何应付这个挑战，一方面满足自己难以遏制的好奇心理。
学术委员会向黎曼发出通知，要求他演讲第三个题目。
黎曼感到非常突然。
为了应付这一次演讲，黎曼集中精力准备了第一个题目，而把第二、第三个题目搁置一边了。当演讲日期快要临近的时候，却临时换了一个题目，这是黎曼没有料到的。
在通常情况下，申请人如果准备不充分，可以拒绝演讲，等准备成熟时，再一次申请。
而富有挑战精神的黎曼并没有放弃这次机会，他对提出的3个题目都有所研究，只不过第一个题目研究得更充分罢了，何况他对第三个题目已有思路和结果，只缺少严密的论证。
黎曼立即投入到第三个题目的研究中，力争在最短的时间内完成这一工作。
夜深人静，人们早已结束一天的劳作而进入了梦乡。
在一片黑暗中，哥廷根大学宿舍区却透出一点微弱的光亮。煤油灯好像已经疲倦了，只放射出昏暗的弱光。灯光下，一个青年好像毫无倦意，正在进行紧张的数学研究。
这个青年就是黎曼，演讲日期越来越近，他不得不夜以继日地奋战。为了写出出色的论文，他的大脑像一台高速机器，超负荷地转动。
演讲日期到了，高斯和其他评委们静静地坐在演讲厅上。高斯心情激动，急切地期待黎曼汇报新成果。
黎曼胸有成竹地走上讲台，滔滔不绝地演讲起来。
“在欧氏几何中，过直线外一点只能作一条与已知道线平行的平行线；在罗巴切夫斯基的非欧几何中，过直线外一点至少可以作两条与已知直线平行的平行线；而我认为，过直线外一点根本不能作出与已知直线平行的平行线……”
在黎曼的演讲过程中，高斯和其他教授为之惊异，赞叹不已。
这是数学史上最为成功的学术演讲之一。黎曼对已知几何作了纵贯古今的理论概括，创立了新的非欧几何体系，即椭圆几何，开辟了微分几何发展的新途径。
黎曼终于成为哥廷根大学的编外讲师，自豪地站在哥廷根大学神圣的讲坛上，传授自己丰富的数学知识。
此后，黎曼义取得了一系列的成果。
在《关于利用三角级数表示一个函数的可能性》的论文里，指出可积分函数不一定是连续的，并给出判断积分存在的准则。而在这之前，法国著名数学家柯西曾证明，连续函数必定是可积分函数。
在论文《在给定大小之下的素数个数》中，提出“黎曼猜想”，至今还没有人能证明。
黎曼对数学的许多重要分支都曾作出贡献，以他名字命名的数学术语、概念和方法有十几条，诸如“黎曼曲面”、“黎曼几何”、“黎曼猜想”、“黎曼函数”、“黎曼映射定理”等。
1866年7月20日，由于过度劳累，黎曼因病逝世，通过一代又一代数学家的研究，关于第5公设的数学之谜终于揭开了。
欧氏几何和非欧几何的关系。有点类似牛顿力学和相对论力学的关系，当考虑局部不变的性质时，欧氏几何是正确的；当考虑宏观宇宙时，就要采用非欧几何。
非欧几何的创立，不仅在微分几何、微分方程、复变函数论等领域里有重要作用，而且也为后来的现代物理学，特别是广义相对论的建立准备了必要的数学工具。
