尽管演绎推理所得的结论十分可靠，但演绎推理受它的前提所限，它不能论证超越前提所规定的范围，亦即永远不能超出公理体系所描述的范围，因此，它不可能创新一个新体系，这样的局限性，需要由归纳推理去补充。
恩格斯指出：“归纳和演绎正如分析与综合一样，是必须互相联系着的，不应当牺牲一个而把另一个棒到天上去，应当把每一个都用到该用的地方，而要做到这一点，就只有注意它们的相互联系，它们的相互补充。”依此教导，反省我们的基础教育，偏重演绎而忽然归纳的教学方法，不是值得改进吗？
3.数学归纳法
数学归纳法是与归纳法有密切联系的一种数学证明方法，是完全归纳法的一种补充。数学归纳法遵循着归纳法的那种从有限多个对象的考察，推断出一般性结论的思想方法。数学归纳法能解决无限多个对象的归纳问题，实现由有限向无限转化，它的理论依据在于自然数的本质属性——皮亚诺公理体系中的归纳公理。数学归纳法可以说是归纳公理变换命题的一种数学表现形式。它是人类用有限来刻划无限的有力工具。是将无限过程用有限间的递进给予解决的方法。数学归纳法是演绎法的一种特殊形式，不是归纳法。
数学归纳法的形式有多种，分第一数学归纳法、第二数学归纳法和反向数学归纳法。
(1)第一数学归纳法
第一数学归纳原理：
设p(n)是关于自然数n的命题，若
1.当n=1时，命题p(1)成立。
2.假设当n=k时，命题p(k)成立，可以推出p(k+1)成立。
则p(n)对一切自然数n都成立。
根据数学归纳原理的证明方法，就是数学归纳法。
原理中的1，2两部分，分别是数学归纳法的基础(初始值)和归纳。两者缺一不可。
应用数学归纳法证题，必须运用第二部分的归纳假设条件，否则这样的证明不成为数学归纳法证明。
第一数学归纳法还有两个基本变形：
推论1设p(n)是关于自然数n(n≥n1)的命题，若
1.当n=n1时，命题p(n1)成立，
2.假设n=k时，命题p(k)成立，可以推出p(k+1)成立，则p(n)对一切不小于n1的自然数n都成立。
推论2设p(n)是关于自然数n的命题，若
1.当n=1，2，3…l时，P(1)，p(2)，…p(l)都成立。
2.假设n=k时，命题p（k)成立，可以推出p(k+l)成立，则p(n)对一切自然数的n都成立。
推论1指出初值n=1，可以推移至n=n1，推论2指出推证跨度由1变为l，但必须验证初值p(1)，p(2)…p(l)成立。
(2)第二数学归纳法
第二数学归纳原理：
设p(n)是关于自然数n的命题，若
1.当n=1时，命题p(1)成立。
2.假设当n≤k时，p(n)都成立，可以推出p(k+1)成立。
则p(n)对一切自然数n都成立。
(3)反向数学归纳法
反向数学归纳原理：
设p(n)是关于自然数n的命题，若
1.p(n)对于无穷多个自然数n成立。
2.假设当n=k+l时，p(k+1)成立，可以推出p(k)成立，则p(n)对一切自然数n都成立。
三、类比推理
其他推理或称类比法，是根据两个或两类事物在某些属性上的相同或相似，进而推得它们在其他属性上也相同或相似的推理方法。
类比推理的形式如下：
对象A具有属性a，b，c，d，
对象B是有属性a，b，c，
所以对象B具有属性d。
类比推理是以比较为基础的。
由于类比推理是对两类特殊的对象作比较，从而得出某一类特殊对象具有某一属性的推理方法，因此，类比法是由特殊到特殊的推理方法。
类比法得到的结论不一定可靠，故它属于似真推理。
1.类比推理的类型
(1)简单类比
数学的类比是通过两类数学对象的比较、抽象、概括，从其中一类对象的判断，得到另一类对象的新判断的一种推理。如果类比较为直观、流于形式，那么这样的类比就是简单类比，由于简单类比难以深入揭示类比的两类对象的内在联系。这样的判断可靠性差。
(2)普遍类比
如果类比从较大范围作深入比较，揭示两类比较对象之间的内在相似，这样的类比就是普遍类比。普遍类比的科学性越高，类比的结果越可靠。例如波利亚提出的类比形式：
A类似于B，
B真，
A更可靠。
这种类比形式十分明了、简洁，深刻指出类比结论可靠程度。实际上，它是类比形式的变形，按类比形式可写成：
关于对象B的命题为真，类似于B，有关于对象A的命题，所以，关于对象A的命题为真。
类比法和归纳法一样是一种发现真理的方法，常用于提出假说和猜想，正如波利亚指出“类比法是一个伟大的引路人”。
数学史上类比法的一个光辉典范是欧拉解决贝努里提出的一个级数求和问题：求1+14+19+116+…
贝努里提出的问题，直到l705年他去世时仍未解决，过了30年，欧拉用类比法猜得结果为π26。充分表现欧拉的类比的天赋。
欧拉所采用的类比，实际上是从有限向无限过渡，他把多项式恒等的性质b1=b0(1a12-1a22-1a32-…-1an2)类比到无限多项的多项式中去，得13！=1π2+14π2+19π2+…这种类比往往是一种“误区”，幸运的是欧拉成功了。因为所求的级数是绝对收敛级数。正如波利亚指出“在严格的逻辑意义下，欧拉的步骤是不允许采取的，但是他用了一门新兴科学中最好的成就来作类比，而类比告诉他可以这样做。”欧拉对类比得到的结果，曾进行大量的数值计算检验，发现这结果十分可靠，他确信结论是正确的，最后他给出了严格的证明方法。
2.类比推理的作用
(1)类比是科学发现和发明源泉之一
唯物辩证法指出，事物是相互联系和发展的。一部分事物间的性质极其相似，它为类比提供了物质基础，比较法是人类认识事物的基本方法，由比较得到事物间的内在联系，为类比提供了客观依据，类比则是人们对客观事物思维的能动反映，它为科学假设和猜想提供思维模式，因此，类比法成为人们发现真理的动力。
(2)类比有利于知识的系统整理和扩展
提出科学假设是类比法的创造性功能的表现，除此，类比法还有整理性的作用，类比可以把知识分类整理，以达到系统认识，并促进认知的发展。
3.类比推理的局限性
(1)结论的不可靠性
类比是似真推理，前提与结论没有严格的逻辑依赖关系，是一种猜想。它不能作为数学的严格论证方法，而且有些类比有错误的导向。因此类比结果都必须经过严格证明才能成为正确的数学命题。
(2)类比对象的相似性
类比时先要对两类对象进行比较，只有当对象具有相似性才能类比，不能盲目类比。类比的范围受类比内容和形式的限制，正确使用类比方法才能克服类比的结论的或然性，而成为一个合理的推理。
四、逻辑推理方法的特征
逻辑推理方法广泛应用于数学推理之中，它们有着许多共同特点，其中比较突出的有：
1.抽象性和概括性
逻辑推理是重要的思维形式，具有普遍的指导意义，归纳、演绎、类比等常用的逻辑形式以及其推理规则，高度概括了人们的正确思维规律，指引人们发现真理和检验真理。它们的概括性使逻辑推理应用甚广，贯穿数学发展的始终。数学的抽象使得数学中逻辑推理随之而抽象。数学抽象程度越高，推理形式越抽象，揭示事物物的本质越更深刻。因此，逻辑推理有抽象性和概括性的特点。
2.个别与一般的统一性
归纳、演绎和类比在思维的进程中，分别是从特殊到一般，从一般到特殊和从特殊到特殊。这只是从一个侧面反映思维过程的特点。但从另一个侧面，即从思维前后联系过程，可以看到它们的思维特点反映了特殊与一般的统一性，明显地，归纳、演绎的两个推理都是特殊与一般的密切联系和相互转化。从形式上看，类比是从特殊到特殊的思维过程，但从内容上看，特殊中隐含着一般，类比的结果常常是科学的假说和猜想，是一般性的概括，并非局限于某一特殊类型和特殊对象的属性。因此，特殊与一般的统一是逻辑推理的又一共同特点。
3.格式的规则性
人们在运用逻辑推理实践中，总结出一套行之有效的固定格式。这些格式较好地引导思维方向，形成正确推理特别是演绎推理的三段论，推理格式严格、逻辑性强，是严格按照推理规则进程的推理。归纳推理和类比推理虽是似真推理，结论不一定可靠，但只有符合推理格式才能得到更接近客观实际的科学假说和有价值的猜想，因此，遵循一定格式的思维形式是逻辑推理的共同特征。
（第六节 ）数学证明与逻辑推理
一、数学证明
1.证明的意义
当人们从客观实际或数学内部矛盾提出某一个命题时，就需要断定这个命题的真实性，以推动数学的发展。
根据某个或某些真实命题和概念，断定另一命题的真实性的推理过程叫做证明。
数学证明是指数学的逻辑证明。它是数学科学的一大特点，它的证明区别于其他学科的证明，侧重于逻辑的合理性。虽然，数学命题的真理性最终取决于客观实际的检验，取决于数学结论和方法在自然科学、社会科学和生产技术的应用，但作为数学科学自身结构而言，数学证明主要取决于数学体系中的概念、公理、定理的逻辑联系，因此数学证明是数学结构必不可少的重要环节。是连接数学大厦的杠杆。
2.证明的组成和作用
任何证明都由论题、论据和论证三部分组成。
论题——待证明的命题。
论据——用于证明的一系列判断。
论证——把证明中的论题和论据联系起来的一系列推理。
数学证明在数学中，起着十分重要的作用。通过数学证明能够确定数学命题的真实性，使数学结沦成为无可争辨的事实。通过数学证明，使数学成为一个严谨的逻辑系统，使数学具有严谨性的特征。数学证明从逻辑上保证了数学理论体系内部的协调性。
3.证明法与反驳法。
数学的具体证明方法种类很多，按证明过程使用的推理形式的不同，分为归纳法、演绎法；按证明思维的进程方向的不同，分为分析法和综合法；按是否直接证明论题，可分为直接证法和间接证法，此外还有一些具体名目的证法，如反证法、同一法、数学归纳法和筛选法等。
下面着重介绍间接证法的反证法和同一法，以及特殊证法的反驳法。
(1)反证法
反证法是通过证明论题的否定命题的不真实，从而肯定原论题真实的证明方法。具体地说：
当证明论题“如果p则q”时，不直接证明这个论题，而把结论q否定，加到原论题的前提中去，并根据已知真命题和推理规则推出与另一已知真命题或原论题的已知前提相矛盾的结论，或导出自相矛盾的结论，从而确立原论题的真实性，这种证明方法叫做反证法。
反证法的逻辑依据是矛盾律和排中律。运用反证法时，应根据不同的论题，运用不同不等式，即运用不同的推理规则。
（2）同一法
如果一个命题的前提和结论所确定的对象都是唯一存在的，那么称这个命题符合同一法则。符合同一法则的命题与它的逆命题等价。当论题是这样一个命题，它与它的逆命题同假或同真（即等价）时，通过证明原论题的逆命题来证明原命题的方法叫做同一法。即在同一法则下，证明原论题的逆命题成立的一种方法。
在运用同一法证明中，首先要验证原命题是否符合同一法则是十分必要的。它是对运用同一法进行正确推理的前提为真的保证。
(3)反驳法
反驳法是一种特殊证法，它是以确知的真命题或实例，驳斥另一命题虚假性的证明方法。反驳法在数学史上判断许多数学猜想起到重要作用。反驳法以它的简洁、说服力强，省去繁杂、冗长的程序，简捷、有效等特点，使它成为数学证明的一个有力工具。
二、虚假证明及其错误剖析
数学证明以数学的严谨的逻辑性为特征，数学离开了严谨的数学证明，数学就失去光彩，失去魅力。一个数学命题的证明，有时要经历几百年，甚至上千年才能完成。有些至今尚未解决。
数学证明像磁铁般吸引着广大数学工作者，激励人们前进。数学证明不是一帆风顺，有时会受到挫折，使人误入歧途。数学史上有不少数学家陷入错误证明的圈套之中，犯过这样那样的虚假证明错误。因此，研究错误的证明，剖析错误原因，从反面中吸取教训是一件十分有意义的事。
一个正确的证明必须遵守证明规则，违反这些规则就会产生虚假证明。而常见的虚假证明的原因有以下几种情况：前提不真、论据不真、偷换概念、循环论证、作图失误、将有限推至无限、误用推理规则等。我们只有提高辨析虚假证明的能力，才能有效地培养良好的逻辑思维习惯。
