21世纪各国之间的竞争主要取决于人才的竞争，而人才的竞争实质上是思维能力的竞争。因此，提高公民的思维能力就成了教育的一个重要目标。数学是训练思维的体操，对培养学生的思维能力具有独特的作用，这是其它学科不可替代的。
现代的数学教学不仅要向学生传授必备的数学知识，而且要充分揭示数学思维过程，使学生掌握数学思维方法，发展学生的思维能力。
（第一节 ）思维及数学思维
一、几种思维概念
数学思维属于思维的范畴。由于思维具有多重属性，其内涵是多层次的。不同的学科从不同的层次对思维进行了研究，形成了许多不同的思维概念。下面的5种观点可帮助我们全面认识和理解思维的概念。
1.马克思主义哲学从世界观这个层次来研究思维
认为思维是物质的产物——人脑的机能，是社会的产物，是物质运动的最高形态或存在方式，是客观事物的反映，是人类认识的理性阶段。这个思维概念揭示了思维的最高层次的本质属性，是哲学意义上的概念。它对我们从宏观上认识思维的本质具有重要的意义。但从微观的角度上看，并没有多大的现实意义。
2.普通心理学
普通心理学认为，意识是心理学理论中的根本问题，思维则是人的意识活动的产物，它是人脑对客观物质世界的能动的反映。它和语言一起成为意识的核心。
我们知道，物质和意识的关系问题是哲学的基本问题，普通心理学将思维归属于人的意识活动的产物，这种阐述仍未跳出哲学的框架。
3.思维发展心理学
思维发展心理学认为，思维是人脑对客观事物的本质和事物内在规律性关系的概括与间接的反映。显然，这种观点比普通心理学的观点详细，但实质上还是一种反映论。
4.现代神经生理学
现代神经生理学的研究，揭开了思维是脑的机能的面纱，美国生理学家斯佩里对“裂脑人”(由于患有某种疾病，因此不得不切断了其头脑中联系两个半球的神经联系)进行了一系列实验研究，揭示了大脑两半球功能的不对称性和右半球的许多高级功能。研究表明，大脑两半球基本上是以不同的方式进行思维，左脑倾向于用语词进行思维，右脑则倾向于以感觉形象直接思维。大脑两半球具有一种合作关系，即左脑负责语言和逻辑思维，而右脑则负责一些难以换成词语的工作，即通过表象代替语言来思维——形象思维。斯佩里博士关于“裂脑人”的研究，为改变重逻辑思维而轻形象思维的倾向提供了理论依据，对建构现代教育观念有积极的意义。
5.现代认知心理学
现代认知心理学认为，思维是一个通过对感知记忆的信息进行提取、整合、分解、比较、选择等一系列的加工改造而得出新信息的过程。现代认知心理学被人看作是信息加工者，人的认识过程就是人对外部或内部的信息进行加工的过程，它包括信息的接收、储存、识别、提取、处理、使用等环节。因而把人脑看成是一个类似于计算机的信息加工系统。
所谓信息加工系统，就是指能够接收、存储、处理和传送信息的系统。人工智能和现代认知心理学的奠基者纽厄尔和西蒙认为，一个信息加工系统主要由记忆装置、加工器、接受器和效应器四个部分组成，各部分间的关系如图所示。
信息加工系统各部分的关系
记忆装置又叫长时记忆，它是永久性知识和技能的存储库，其容量相当大，大约是10亿比特(信息量单位)。信息以结点的形式存储，人通过学习把结点联结成复杂的网络，一个结点代表一个信息项或一束相关的信息项，这一束相关的信息项中某些元素被激活，所有的元素都可能被激活。一些结点包含直感信息，一些结点包含命题信息，其中包括有关的事实知识、信息、理论等。还有一些结点存储与学习动机或认知技能有关的程序处理信息。信息可以组织成高层次的概念网络，此时，结点就代表概念，连接结点间的线段就相当于概念间的意义联想。长时记忆中这样的网络有千千万万，每一网络都有与其他网络相联结的点，正是由于这些联结点才能导出并非直接而明显存储的信息。记忆装置以两种方式进入加工活动。第一，进入系统的刺激被识别后，经短时记忆而转入记忆装置，从而长期保持下来；第二，系统在进行加工活动时，要从长时记忆中提取(检索)有关信息以供活动之用。
信息加工器包括：①一套基本的信息加工过程；②短时记忆(也叫工作记忆)，它容纳进行加工的输入和输出信息；③解释程序，它确定信息加工系统中要进行的基本信息加工过程的序列。加工器的实际作用是执行系统的操作。
工作记忆保存所进行的事件的内部表象，其容量是相当有限的，一般不超过7个信息项，这就严重地限制了人们成功解题的规模。信息处理方法不当，可能很快用尽存储容量，从而限制可能存储的信息量。但如果采用“束集”法，就可能大大提高容量。所谓束集，就是用一个符号或一个概念代表一个相关信息项的集合，这样就可发展为复杂的认知结构。
接受器的作用是将信息输进系统，即是在记忆系统中建立那种代表外部事件的内部的信息符号结构。效应器则是进行相反的操作，它是在外部环境中建立反应。
现代认知心理学的信息加工理论可以用来解释人类的许多思维过程，使得思维不再是不可知的“黑箱”。现代认知心理学的许多研究成果，为培养学生的思维能力提供了理论依据，具有重要的参考价值。
二、思维的分类
思维是一种既普遍又复杂的现象，人们从不同的角度，按不同的标准，将思维划分为不同的类型。
1.按思维抽象性分类
按思维抽象性可把思维分成直观行动思维、具体形象思维和抽象逻辑思维。
①直观行动思维是指与物质活动相联系的思维，也叫感知运动思维或动作思维。这种思维主要是协调感知和动作，在直接接触外界事物时产生直观行动的初步概括。感知动作中断，思维也就终止。
②具体形象思维是指以具体表象为材料的思维。它是在动作思维的基础上发展而来的，儿童可以脱离直接刺激物和动作，借助于知觉形象或表象进行思维。例如，成人左右手分别伸出三只手指，问儿童共有几只手指。依赖动作思维的儿童要靠一个一个地数的动作才能得出答案，而处于具体形象思维阶段的儿童，不用具体点数，看一眼便可得出答案。
③抽象逻辑思维，即逻辑思维，是指以概念为材料的思维，它主要以概念、判断和推理的形式表现出来。它又分为形式逻辑思维和辩证逻辑思维。
2.按思维结果的价值分类
按思维结果的价值可把思维分成再现性思维与创造性思维。
①再现性思维是指运用原有的知识和经验，按现成的方法去解决情景类似的问题的思维。例如，学生模仿例题解决同类问题的过程就是一种再现性思维的过程。
②创造性思维是人们在进行创造性活动时的思维。所谓创造性活动，既包括科学发现、发明、技术革新、艺术创造等具有社会价值的创新活动，也包括对学习者而言具有新颖性的学习活动。
3.按思维的指向分类
按思维的指向可把思维分成聚合思维和发散思维。
①聚合思维是指从已知信息中产生逻辑结论，从现成资料中寻求正确答案的一种有方向、有范围、有条理的思维方式。又称为收敛思维、集中思维、求同思维、辐合思维等等。
②发散思维是指从已知信息中产生大量变化的、独特的新信息的一种沿不同方向、在不同范围、不因循传统的思维方式。又称为求异思维、辐射思维等等。
4.按主体意识分类
根据得出结论是否经过明确思考，步骤和主体对其思维过程有无清晰的意识，可把思维分为直觉思维和分析思维。
①直觉思维是指人脑基于有限的数据和事实，调动一切已有的知识经验，对客观事物的本质及其规律性联系作出迅速的识别、敏锐的洞察、直接的理解和整体的判断的思维过程。
②分析思维则是指遵循严密的逻辑规则，通过逐步推理得到符合逻辑的正确答案或结论的思维方式，它进行的模式是阶梯式的，一次只前进一步，步骤明确，包含着一系列严密、连续的归纳或演绎过程。分析思维也即逻辑思维。
三、数学思维及数学思维方法
1.数学思维
数学研究的对象是现实世界的空间形式和数量关系以及由此反映出来的结构与模型，我们称它们为数学物象。数学思维是以数学物象为思维对象，以数学语言符号为思维载体，并以认识和揭示数学规律为目的的一种思维。
从信息加工理论的角度来看，数学思维过程也就是信息加工系统的运行过程。当我们面对一个数学问题时，在解题动机的驱使下开启“接受器”，即对问题的信息(题设、结论、图形)进行感知、接收，然后将感知的问题信息经过滤式(主要是注意在起作用)的选择传入加工器进行操作。在这一过程中，加工器和长时记忆不停地进行着信息的对流。一方面，部分被感知的进入工作，记忆的问题信息转入长时记忆中，另一方面，部分原来存储于长时记忆中被激活的语言信息和数学表象信息被提到工作记忆中。在解题思路的探索取得成功之后，便进入对探索过程的整理表述阶段，即加工后信息的输出(效应器工作)。若结果符合目标要求，则解题过程(数学思维过程)即告完成。
在数学思维过程中，环境的刺激有两类。一类是数学概念的刺激，一类是图形或图式的刺激。由刺激传入工作记忆的信息有两类：数学语言信息和数学表象信息。长时记亿中存在着语言系统和表象系统，这两个系统既分离又密切相联。语言系统用于处理言语信息，表象系统用于处理有关客体的非言语信息。在关联的水平上，言语的表达或表象能因另一系统的活动而激活，这种相互联系在于称呼事物的名称或描述事物的形象，以及称呼该事物的形象。这两个系统的联结非常多，但并不是完全一一对应。例如，看到“圆”这个数学名词，人们的大脑可能引发这样的数学表象：“圆的图形”“圆圈”“到定点的距离等于定长的点的轨迹”等等，又如看到“x”这个数学符号，我们的大脑可能会引起这样一些数学表象：“数”“变量”“数轴上的点”等等。在数学活动中，人们需要处理数学概念信息和数学表象信息。因此，数学思维过程实质上是对这两类信息的加工过程，这两种信息的转换是相当迅速的，从微观的角度很难区分何时在处理何种信息，我们只能粗略地描述，描述的依据是视加工器中以何种信息的加工为主流。若加工器中以数学概念信息的加工为主流时，则称此时的思维为数学逻辑思维。若加工器中以数学表象信息的加工为主流，则称此时的思维为数学形象思维。例如，面对问题：542-462=？学生甲借助于纸和笔先算542=54×54=2916，再算出462=46×46=2116，最后算2916—2116=800，这个过程丰要以数字信息的加工运算为主流，它是数学逻辑思维。但学生乙看到代数图式“542-462”立刻联想到平方差公式，在加工器中进行操作。利用“平方差公式”得到542-462=（54+46）×（54-46）=800，这种操作完全是一种借助于数学表象而进行的心中运算。学生乙这种一看到题目便脱口而出“800”的思维就是一种形象思维。
2.数学思维的品质
思维的品质是指思维产生和发展中所表现出来的个性差异。在数学教学活动中，你可以发现有的学生思维很灵活，思路开阔，能洞察问题的本质，有独创性。而有的学生则反应迟钝，思路狭窄，只习惯于简单模仿。这就是数学思维品质的差异。数学思维的品质主要表现在思维的广阔性、深刻性、灵活性、独创性和批判性等5个方面。
(1)思维的广阔性
思维的广阔性是指思维的广度。它表现为思路开阔，善于从不同角度，不同层次对问题进行全面的观察和思考。既注意到问题的细节，又能纵观问题的整体，较好地把握特殊与一般，局部与整体的关系。发散思维反映了思维的广阔性。
（2）思维的深刻性
思维的深刻性即思维的深度，它反映着分辨事物本质的能力。数学思维的深刻性表现为：善于洞察数学对象的本质属性及其相互关系；善于从所研究的材料（已知条件、解法和结果）中揭示荫蔽的特殊情况，并发现有价值的东西；能辨证地思考。
(3)思维的灵活性
思维的灵活性是指思维的灵活程度，主要表现为善于摆脱已有模式的束缚，及时由一条思路转向另一条思路。思维灵活的人善于从错误思路中退出来并及时转向，善于联想，善于类比，善于逆向思考，如逆用定义、公式，善于将问题简约化归，等等。
(4)思维的独创性
思维的独创性是指思维的创新程度。表现为思维的方式、方法或结果具有新颖、独特的特点。“创新”不仅仅是关注其结果是否具有社会价值，只要是学生能独立发现定理或定理的证明。或发现老师未讲过的解法，都是创新的表现。例如高斯10岁时就能摆脱常规算法，采用独特的算法，将1+2+…+100分解组合成50个101相加，马上得出答案为5050，高斯的算法是具有独创性的。
(5)思维的批判性
思维的批判性是指主体对思维内容和思维过程进行反思和评价的程度，它是思维过程中主体自我意识作用的结果，主要表现在：评价所选择的思路；预测可能出现的结果，对所得结果进行检验；喜欢独立思考；凡事要经过自己思考，然后才作出结论；善于提出疑问，及时发现错误，等等。
思维的批判性的反面表现为：不知自己的解题思路是否正确；不善于独立思考和提出问题，只会附和别人的意见；对教师和教科书盲从，不敢越雷池半步，等等。
上述数学思维的五种品质，不是孤立的，而是相辅相成的。没有广阔性就谈不上灵活性，因为狭隘的思路是灵活不起来的。没有深刻性和灵活性也就谈不上批判性，因为只有思维深刻和灵活，才能洞察问题的本质，才能摆脱思维定势的消极影响，及时发现自己或他人的问题。没有广阔性、深刻性、灵活性、批判性就谈不上独创性。在数学教学中只有全面发展学生的这五种思维品质，才能提高学生的思维能力。
3.数学思维方法
思维是一个通过对感知记忆的信息进行加工改造而得出新信息的过程。要使思维能够进行，首先要有被加工的材料，即语言概念信息和表象信息。其次要有科学的加工方法，即思维方法。思维方法是思维活动的步骤和程式，是对思维材料加工的方式和程序。
