《三国演义》有一段很精彩的描写，说的是曹操煮酒论英雄。曹操剪除吕布之后，权势日增，挟天子以令诸侯。刘备新败，兵微将寡，无尺寸之地可以安身立命。只好暂时依附曹操。为了避免曹操猜疑，刘备不得不韬光养晦，每日灌园浇菜，装做已经胸无大志的样子。曹操为了摸清刘备的底，于是青梅煮酒，邀刘备共饮，酒至半酣，曹操忽然请问刘备，谁是当世的英雄。刘备当然也清楚曹操的用心，便故意装痴卖傻地把各路诸侯一个个地列举出来，但都被曹操一个个地否定了。最后，叱咤风云的英雄人物，只剩下曹操与刘备了。这时，曹操才得意洋洋地宣布：“今天下英雄，唯使君与操耳！”
刘备和曹操在这里使用了“穷举法”。
所谓“穷举法”，就是在讨论一个问题时，把所有可能的情况都列举出来，一个不重，一个不漏，然后对各种可能情况逐一分析，去掉不合条件的，留下符合条件的，最后作出结论。用穷举法来论证问题，看起来有些原始，有些笨拙，但却是逻辑堆证中不可或缺的方法。
还是这个曹操，大概由于生前树敌太多，恐怕死后有人掘其坟墓，便在漳河一带造了72个疑冢。这样一来，人们就难以找到曹操的墓了。但后人有诗曰：“尽掘七十二疑冢，必有一冢葬君尸。”诗人提出了一个办法：对72座疑冢，一个一个地掘下去，只要曹操的确是埋在72冢之中，曹操的尸骨就总会被挖出来。这又是用的穷举法。
使用穷举法，要做到一个不重，一个不漏，特别是要一个不漏。重则造成浪费，漏则可能导致错误。《聊斋志异》中有一则《曹操冢》，那篇小说中说曹操的墓竟在72冢之外，那位诗人的穷举法原来有遗漏，终于让曹操避免了被“掘墓鞭尸”的厄运。老谋深算的曹操，再一次妙用了穷举法的原理。
在许多以侦破为题材的影视或小说中，常常使用穷举法。某处突然发生了疑案，侦破人员便将所有可能的犯罪嫌疑人一一列举出来，然后逐个调查取证，逐个排除，最后视线集中到一两个人身上，终于找出了真正的犯罪分子。看多了，也许觉得千篇一律，单调乏味。但是，侦破工作确实是离不开穷举法的。
穷举法在数学中也是一种司空见惯，屡建奇功的方法。通过数学问题训练人的穷举思维，也有奇特的功效，是别的方法所难于替代的。
也许正因为侦破工作离不开穷举法。英国著名侦探小说作家柯南道尔在他的名著《福尔摩斯历险记》中，特意安排了一段情节，让福尔摩斯用穷举法去解一道数学难题。从解题的过程中显示出了福尔摩斯运用穷举法的能力，这大概也是他能成为一个著名侦探的必备条件之一吧。
福尔摩斯有一天到他的朋友华生医生家去作客，听到外面庭院里一大群孩子的喧闹声，便问华生医生有几个孩子。华生医生并没有正面回答客人的问题，却说出了一道颇有难度的数学题。
下面是主客之间的对话：
主人：“那些孩子不完全是我的，那是四家人的孩子。我的孩子最多，弟弟的孩子其次，妹妹的更其次，叔叔的孩子最少。虽然他们还不够按9人一行排成两行，但却可以把整个院子闹得乱七八糟，天翻地覆。不过，说来也巧，如果把我们四家的孩子数乘起来，其积正好等于我家的门牌号数。至于我家的门牌号数，您是知道的哪！”
客人：“哈哈！我过去在学校里也学过数学的呀！让我试试把每家的孩子算出来吧！（稍为思索了一会）但对于这个问题，已给的信息还不能得出结论，请您告诉我，您叔叔的孩子是一个呢？还是不止一个？”
华生医生回答了这个问题之后，福尔摩斯马上准确地说出了各家孩子的数目。
大侦探是怎样算出各家孩子数的呢？当然离不开穷举法。
现在你并不知道门牌号数，也不知道叔叔的孩子数，能根据上文提供的信息，用穷举法算出各家的孩子数吗？让我们来分析一下：假设医生、弟弟、妹妹、叔叔的孩子数依次为a，b，c，d。那么，根据华生医生向福尔摩斯提供的信息，应有a＞b＞c＞d（1）
a＋b＋c＋d＜18（2）
abcd=n（n为门牌号数）（3）
问题就是要求同时满足条件（1）（2）（3）的正整数解。
我们可以用穷举法列出满足条件（1）与（2）的所有四元数组（a，b，c，d）逐一分析，最后找出答案。不过这种四元数组有39种之多，逐一列举将不胜其烦。但若我们善于使用“同中求异”与“异中求同”的思维方法，则可较简单地解决。
首先注意，叔叔的孩子数d只能为1或2，因为若d≥3，则由条件（1），将有c≥4，b≥5，a≥6。从而a＋b＋c＋d≥6＋5＋4＋3=18，与条件（2）矛盾。类似地可以推出，医生的孩子数a＜12。
第一步同中求异：对于任何一组可能的（a，b，c，d），都有a＋b＋c＋d＜18，这是同；但它们的乘积abcd（d=1或2）却不完全相同，这是异。
第二步异中求同：在两种乘积abcd（d=1）和abcd（d=2）中，一定有相同的。不然的话，由于福尔摩斯已经知道门牌号数n，如果在这两种乘积中只有一种乘积中有使abcd=n的，他就会知道叔叔的孩子数是1个还是2个。现在既然福尔摩斯还要向主人询问叔叔的孩子数，可见，无论是d=1或d=2时，都可使abcd的积等于门牌号数。我们必须找出这些相同的数组，这就要异中求同。
第三步再同中求异。假设我们找到了两组相同的乘职abc×1=a＇b＇c＇×2=n，即2a＇b＇c＇=abc。于是。a＇，b，＇c＇，2这4个数可以看成是这样得来的：abc中的b、c保持不变，a分解成2与e的乘积而得到的，其中的e≠b，e≠c，e≠2。例如1×3×5×8=2×3×4×5=120，2，3，4，5可看成是由1，3，5，8中的8分解为2×4（e=4）而得到的。要找出这种不同的表达式，又要同中求异。在a×b×c×1=a＇×b＇×c＇×2=n的数组中，a必须为偶数。于是a应满足6≤a≤10。
第四步又异中求同。满足abcd=n的四元数组，如果a×b×c×1和a×b×c×2每种都有2组以上的话，福尔摩斯即使知道了d=1或d=2，仍无法判断各家的孩子数。现在他说已能判断出各家的孩子数了，可知两种乘积中，至少有一种只有一组等于n。不过，由于我们没有听到华生医生告诉福尔摩斯叔叔的孩子数是多少，如果a×b×c×1与a×b×c×2都恰好只有一种等于n的话，我们仍然无法得知各家的孩子数。只有一种情况例外：两种乘积中，有一种恰有一组等于n，另一种有两组以上等于n。因此，为了找出某种乘积是否有两组以上等于n。又要异中求同。
至此，我们还没有作任何具体的列举和计算，只是经过了反复的同中求异与异中求同的分析，下面只要很少几步的列举和计算就可以了。因为6≤a≤10，且a为偶数，a只有三种可能，我们从a的值入手进行穷举。
当a=6时，因为6=2×3，所以c≠2，c≠3即c≥4，只有一种可能的四元数组：1，4，5，6。它可变为2，3，4，5。
1×4×5×6=2×3×4×5=120
当d=8时，因为8=2×4，所以c≠2，C≠4，b≠4，也只有一种可能的四元数组，1，3，5，8。它可变为2，3，4，5。
1×3×5×8=2×3×4×5=120
当d=10时，因为10=2×5，可知c≠2，c≠5，最小的四元数组（1，3，4，10），其和也超过了17。所以没有符合条件的四元数组。
由于d=1的情况有2种，d=2的情况恰有一种，即可完全判断门牌号数为120，四家的孩子数分别为2，3，4，5。
至于聪明的福尔摩斯，因为他事先知道门牌号数为120，根本用不着这样来分析，他可以使用更简单的穷举法：因为120=22×3×4×5，当把120分解成4个互不相等的正整数a，b，c，d的积，且满足a＋b＋c＋d≤17的可能情况只有三种：a=8，b=5，c=3，d=1
a=6，b=5，c=4，d=1
a=5，b=4，c=3，d=2
各家的孩子数必定是上面三种情况之一。如果叔叔的孩子数是1，福尔摩斯虽然才智过人，亦难以准确判断出各家的孩子数。好在事从人愿，叔叔的孩子数恰好为2，这就使福尔摩斯顺利地破了这一“疑案”。
